Archives of Design Research

레오나르드 다 빈치와 뒤러 등 여러 미술가는 미술에서 수학의 중요성을 강조하곤 하였다(Atalay, 2006; Da Vinci, 1897; Elam, 2011). 특히, 레오나르드 다 빈치는 “Non mi legga chi nonèmatematico. 수학자가 아닌 사람은 내 책을 읽지 마라.”라고 기록한 것으로 전해진다(Kline, 1967; Vezzosi, 1996). 실제로, 수학적 개념이 디자인이론을 비롯한 미술이론 전반에 유용할 수 있다는 것은 주지하는 바이다. 예를 들어, 피보나치수열(Fibonacci sequence), 황금비(golden ratio), 또는 사영(projection) 등과 같은 수학적 개념은 여러 미술 작품을 분석하고 이해하는 데에 도움이 된다(Elam, 2011; Kye, 2014).

미술 특히 디자인에서 중요한 수학적 개념 중의 하나가 대칭(symmetry)이다. 대칭은 황금비와 함께 아름다움(美)의 주요 요소이기 때문이다. 대칭은 현대 수학에서도 중요한 개념이며 군론(群論, group theory)은 현대수학의 핵심 영역 중 하나로서 보통 “대칭이론(theory of symmetry)”이라고 불린다.

한편, 대칭은 디자인이나 문양의 중요한 미적 요소이며 조형 원리 중 하나로서 회화와 건축에서도 대칭이 사용되는 실례를 쉽게 찾아 볼 수 있고(Won, 2011), 수학적 대칭성은 시각적 교육모형의 개발에도 활용될 수 있다(Koo & Ha, 2011). 특히, 디자인 분야에서는 의상이나 포장지 그리고 벽지 등에서 대칭의 원리가 적용된 패턴을 어렵지 않게 볼 수 있다. 대칭의 원리를 통한 디자인에서는 균형미와 안정감을 느낄 수 있기 때문일 것이다. 또, 대칭을 통한 미적 표출은 오래 전부터 여러 나라에서 이루어져 왔으며 한국도 예외는 아니다. 단청, 한복, 도자기 등에서 사용 된 반복적인 패턴, 즉 대칭 원리를 적용한 전통 문양을 살펴 볼 수 있는 것이다. 대칭은 선조들의 조형적 감각과 전통미를 엿볼 수 있게 하는 단초를 제공한다.

위와 같은 까닭으로 인하여 문양(pattern)이나 디자인 연구에서 군론을 통한 수학적 접근은 자연스러운 시도라고 할 수 있다. 이를 위해 문양이나 디자인과 관련되는 대칭성의 수학적 개념이나 용어를 분명히 할 필요가 있고, 그러한 개념들을 문양의 분류 등 디자인의 이해와 연구에 직접 적용하는 시도는 바람직하다고 여겨진다.

한 나라 문화의 특징은 그 나라의 전통문양에서 어느 정도 가늠할 수 있다. 전통문양에는 민족의 정서와 미의식이 함축되어 있기 때문이다. 따라서 우리의 전통문양을 잘 이해하고 현대적 관점에서 재구성함으로써 한국적 문양 디자인으로 계승발전 시키면 민족의 미적 의식을 발휘할 수 있을 것이다(Lim & Kim, 2005).

전통문양에 관한 깊이 있는 이해를 위해서는 문양의 체계적인 분류가 필수적인 과정이다. 그러나 분류 방식이 객관적이지 못하고 누구나 공감할 수 있는 정확한 기준에 근거하지 않으면 타당성과 신뢰성을 확보하기 어렵다. 수학적 분류는 그 이론과 절차가 이론적이고 체계적이며 주관적 요소가 완전히 배제되기 때문에 객관적이며 합리적인 접근이 될 수 있을 것이다. 특히, 한국 전통문양의 다양성에 관한 객관성을 확보하기 위해서는 전통문양에 대한 수학적 접근은 필요하다. 이런 맥락에서 수학적 분류에 따라 한국의 여러 가지 전통 문양을 제시하는 것은 의미가 있을 것이다.

한편, 디자인에 관한 수학적 접근은 디자인의 프로그램화를 가능하게 한다. 이는 컴퓨터를 활용하여 다양한 문양을 디자인 할 수 있게 하므로 현대 감각에 맞는 한국 전통문양을 디자인할 수 있게 할 것이다.

이 연구에서는 문양에서 관찰되는 대칭의 종류는 어떤 것들이 있으며, 군론에 의한 일곱 개의 띠 타입은 무엇이지 조사하고, 일곱 개의 띠 타입 각각에 해당하는 한국의 전통 띠 문양을 구체적으로 제시한다. 마지막으로, 군론(대칭)에 의한 문양 생성 방안은 무엇인지 예를 통하여 살핀다. 연구 문제를 구체적으로 명시하면 다음과 같다.

1.3.1. 문양에는 어떤 대칭이 있는가?

1.3.2. 군론에 의한 일곱 개의 띠 타입은 무엇인가?

1.3.3. 띠 타입 각각에 해당하는 한국의 전통 문양의 예는 무엇인가?

1.3.4. 대칭을 적용하여 띠 문양을 생성하는 방법은 무엇인가?

연구문제를 해결하기 위하여 문양과 관련되는 군론을 조사하여 처음 문제와 두 번째 문제의 답을 구한다. 세 번째 문제가 이 연구의 핵심이다. 이 문제에 대해서는 남한과 북한 각각에서 예를 찾아 이 글의 목적에 맞게 제시함으로 답한다. 남한의 경우에는, 각 타입에 해당하는 띠 문양을 찾기 위해서 전국의 박물관, 사찰, 또는 미술관 등 각 기관이 제공하는 인터넷 자료를 통하여 띠 문양을 조사한 후, 각 타입에 해당하는 문양을 제시하되 대칭성을 표시한다. 북한의 경우에는 신뢰할만한 자료를 통하여 문양을 조사하고 각 타입에 따른 문양을, 대칭성을 표시하며 제시한다. 마지막 문제의 해결을 위하여 간단한 기본 문양을 하나 주고, 거기에 대칭을 적용하여 여러 문양을 생성하는 방법을 예를 들어 제시한다.

이슬람문양의 다양성은 가끔 언급된다. 색을 고려하지 않는다고 하더라도 이슬람 문명이 낳은 문양은 얼핏 보아도 “다양하다” 또는 “섬세하다”는 느낌을 준다. “우리나라 전통문양도 이슬람 전통문양 못지않게 다양하고 섬세하다”라는 주장을 하고자 할 때, 한 가지 설득력 있는 방안은 “수학적 접근”이다. “수학적 접근”은 객관적이고 논리적이며, 또 체계적인 근거를 제공하고 더 나아가 대칭성의 정도를 계산할 수 있기 때문이다(Shin, Lyu, Moon, & Sheen, 2014).

수학에서 군론은 수학 자체의 필요에 의해 정립된 이론이지만, 수학 외 분야에서 군론의 효용성은 하나하나 열거하기 어렵다. 군론은, 특히, 문양을 분류하고 분석함에 있어서도 매우 유용하다(Burn, 1985; Du Sautoy, 2008).

띠나 벽지에 관한 수학적 연구는 매우 활발하게 이루어졌으나(P‧lya, 1924; Schattschneider, 2010), 수학이론을 적극적으로 활용한 문양 연구를 찾지는 못하였다. 군론을 본격적으로 적용하였다고는 볼 수 없지만 문양을 대칭의 관점으로 본 국내 유일한 연구로는 Lee(2010)가 있다. 그러나 그의 연구는 띠가 아닌 벽지에 관한 것으로서 수학적 개념이 잘 못 이해되었거나 잘 못 적용되어 다소의 오류를 범하였다. 이러한 현상은 대칭성에 관한 수학적 개념의 혼란으로 야기된 것이라 사료된다.

정해진 방향을 따라 일정한 길이만큼 이동시키는 변환이다. 아래 그림에서 띠 전체를 좌‧우로 일정한 길이만큼 평행이동 시켜도 그 문양의 모습에는 아무런 변화가 없다. 즉, 이 문양에는 평행이동 대칭이 있다.

Figure 2 Translation

“좌·우로 반복되는 문양”이라는 띠의 정의에 따라 모든 띠 문양에는 평행이동 대칭이 항상 존재한다. 따라서 띠의 대칭성을 살피고자 할 때, 띠 전체 대신에 기본조각(점선으로 그린 네모 안의 부분)의 대칭성만 살피면 충분하다. 또, 평행이동은 기본조각의 x^ㅡ축 방향 길이의 배수만큼 이루어져야 한다는 것을 알 수 있다.

정해진 축으로 일정한 각도만큼 회전시키는 변환이다. 아래 그림에서 띠 전체를 점 를 축으로 180°회전시켜도 문양의 모습에는 아무런 변화가 없다. 즉, 이 문양에는 180°회전 대칭이 있다.

Figure 3 Rotation

이 문양에서 180°회전의 축은 점 외에도 무수히 많다는 것을 주목할 수 있다. 여기서 또 하나 유념할 것은, 2차원적 문양인 벽지에서는 0°회전(360°회전), 60°회전, 90°회전, 120°회전, 그리고 180°회전 등 여러 각도의 회전을 생각할 수 있지만, 1차원적 문양인 띠에서는 0°회전(360°회전)과 180°회전만 생각할 수 있다는 것이다.

정해진 축에 관하여 반사시키는 변환이다. 아래 그림에서 띠 전체를 점 x^ㅡ축에 관하여 반사시켜도 문양의 모습에는 아무런 변화가 없다. 즉, 이 문양에는 x^ㅡ축 반사 대칭이 있다.

Figure 4 Reflection by x^-axis

한편, 아래 그림에서는 띠 전체를 점 y^ㅡ축에 관하여 반사시켜도 문양의 모습에는 아무런 변화가 없다. 즉, 이 문양에는 y^ㅡ축 반사 대칭이 있다.

Figure 5 Reflection by y^-axis

여기서 축 반사의 y^ㅡ축은 무수히 많다는 것을 주목할 수 있다. 좌표변환을 통하여 반사 축인 y^ㅡ축을 다르게 잡을 수 있기 때문이다.

정해진 축을 따라 일정한 거리만큼 평행이동 한 후 그 축에 관하여 반사시키는 변환이다. 아래 그림에서 띠 전체를 x^ㅡ축을 따라 ½만큼 평행이동 시킨 후 그 축에 관하여 반사시켜도 문양의 모습에는 아무런 변화가 없다. 즉, 이 문양에는 x^ㅡ축 미끄럼반사 대칭이 있다.

Figure 6 Glide reflection by x^-axis

여기서 “½”은 “기본조각의 x^ㅡ축 방향의 길이의 반(½)”을 의미한다. 따라서 “미끄럼반사”는 “평행이동 후 반사”가 아니라는 것을 주목하여야 한다. 문양의 대칭에서 평행이동은 “기본조각의 x^ㅡ축 방향의 길이”의 정수 배만큼 이동하는 것을 뜻한다. 즉, …, 3-배(왼쪽으로 세 칸), 2-배(왼쪽으로 두 칸), 1-배(왼쪽으로 한 칸), 0배(이동 없음), 1배(오른쪽으로 한 칸), 2배(오른쪽으로 두 칸), 3배(오른쪽으로 세 칸), …만큼의 이동을 뜻하는 것이다. 미끄럼반사는 “x^ㅡ축을 따라 ½만큼 평행이동 시킨 후 그 축에 관하여 반사”시키는 변환이므로 “평행이동 후 반사”라고 할 수 없다. 즉, 미끄럼반사는 평행이동이나 반사 또는 회전을 적절히 시행하여 얻을 수 있는 대칭이 아닌 독립적인 대칭인 것이다.

한편, y^-띠 문양에서는 축 미끄럼반사는 생각하지 않는다. 따라서 이 글에서 말하는 미끄럼반사는 모두 x^ㅡ축 미끄럼반사이다.

이 글에서는 편의를 위해, “평행이동 대칭”, “회전 대칭”, “반사 대칭”, 그리고 “미끄럼반사 대칭”을 각각 “평행이동”, “회전”, “반사”, 그리고 “미끄럼반사”라고 한다.